Как создать матрицу в Python: инструкция
Матрицы являются одним из основных объектов в математике. Они используются для представления и манипулирования данными в виде таблицы, состоящей из строк и столбцов. Их используют для решения систем линейных уравнений, определения матричных действий, преобразования координат и многого другое.
В этой статье мы опишем несколько способов создать матрицу в Python. И дополнительно рассмотрим некоторые основные операции, такие как сложение, умножение и определение обратной матрицы.
Что такое матрица
Матрица — это таблица из чисел, которая используется в математике и инженерных науках для представления данных. Матрицы имеют форму таблицы, состоящей из строк и столбцов. Каждый элемент имеет свой уникальный индекс, обозначающий строку и столбец, в котором он находится. Например, матрица размером 3×3 будет иметь 3 строки и 3 столбца, и каждый элемент будет иметь индекс вида (i, j), где i — номер строки, а j — номер столбца.
Создание матрицы
В Python существует несколько способов создания матрицы. Ниже приведены некоторые из них:
- С помощью списков. Можно создать матрицу, используя вложенные списки. Каждый вложенный список будет соответствовать одной строке. Так можно создать квадратную матрицу Python :
matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]- С помощью NumPy. NumPy — это библиотека для математических вычислений и обработки данных. В ней есть класс Array, который можно использовать для создания матрицы:
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])Если вам нужно производить стандартные математические операции с матрицами, то стоит использовать NumPy. Его проще использовать и все операции уже реализованы в библиотеке. А если вы хотите самостоятельно создавать методы, например, в образовательных целях, или же планируете совершать нестандартные манипуляции, то используйте вложенные списки.
Теперь рассмотрим матричные операции и поработаем с ними с помощью вложенных списков и NumPy.
Матричные операции
Вот список основных манипуляций:
- Сложение. Две матрицы можно сложить, если их размеры совпадают. Каждый элемент итоговой матрицы будет равен сумме соответствующих элементов исходных матриц.
- Вычитание. Одну матрицу можно вычесть из другой, если их размеры совпадают. Каждый элемент итоговой матрицы будет равен разности соответствующих элементов исходных матриц.
- Умножение начисло. Каждый элемент итоговой матрицы будет равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на число.
- Произведение матриц. Матрицы можно перемножить, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В результате получится новая матрица с размером, соответствующим числу строк первой матрицы и числу столбцов второй матрицы. Более подробно эту операцию мы разберем чуть дальше.
- Транспонирование матрицы. Транспонирование — это операция, в которой строки и столбцы меняются местами. Т.е. первый столбец становится первой строкой, второй столбец — второй строкой и так далее.
- Нахождение обратной матрицы. Матрица B будет являться обратной матрицей для матрицы A, если результатом операции A*B является единичная матрица.
Сложение
Важно не забывать, что при сложении двух матриц их размеры должны совпадать.
Вот пример сложения с помощью вложенных списков и циклов:
matrix1 = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
matrix2 = [[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]]
result = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
for i in range(len(matrix1)):
for j in range(len(matrix1[0])):
result[i][j] = matrix1[i][j] + matrix2[i][j]
print(result)[[10, 10, 10], [10, 10, 10], [10, 10, 10]] Вот аналогичное сложение с помощью метода add() из библиотеки NumPy:
import numpy as np
matrix1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
matrix2 = np.array([[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]])
result = np.add(matrix1, matrix2)
print(result)[[10 10 10]
[10 10 10]
[10 10 10]]Вычитание
В Python можно выполнять вычитание матриц с помощью цикла или метода subtract() из библиотеки NumPy. При вычитании размеры должны совпадать.
Вычитание с помощью цикла:
matrix1 = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
matrix2 = [[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]]
result = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
for i in range(len(matrix1)):
for j in range(len(matrix1[0])):
result[i][j] = matrix1[i][j] - matrix2[i][j]
print(result)Вычитание с помощью метода subtract() из библиотеки NumPy:
import numpy as np
matrix1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
matrix2 = np.array([[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]])
result = np.subtract(matrix1, matrix2)
print(result)Умножение на число
В Python умножение матрицы на число можно реализовать с помощью цикла или воспользоваться методом dot() из библиотеки NumPy.
При умножении матрицы на число, каждый элемент умножается на это число.
Умножение с помощью цикла:
matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
scalar = 2
result = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
for i in range(len(matrix)):
for j in range(len(matrix[0])):
result[i][j] = matrix[i][j] * scalar
print(result)Вот пример работы метода dot() из библиотеки NumPy с теми же вводными:
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
scalar = 2
result = np.dot(matrix, scalar)
print(result)Также вместо метода dot() можно использовать знак операции умножения * :
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
scalar = 2
result = matrix * scalar
print(result)В большинстве случаев метод dot() работает быстрее вручную реализованных циклов.
Произведение матриц
Произведение — это операция, в результате которой получается новая матрица с числом строк первой матрицы и числом столбцов второй. При матричном умножении, число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй. Каждый элемент новой матрицы — это сумма произведения элементов строки первой матрицы и элементов столбцов второй матрицы, как на картинке ниже:
Как и прежде, реализуем произведение с помощью циклов и NumPy.
Умножение, реализованное на циклах, может иметь такой вид:
matrix1 = [[1, 2], [3, 4]]
matrix2 = [[5, 6], [7, 8]]
result = [[0, 0], [0, 0]]
for i in range(len(matrix1)):
for j in range(len(matrix2[0])):
for k in range(len(matrix2)): result[i][j] += matrix1[i][k] * matrix2[k][j]
print(result)В NumPy для матричного умножения используется метода dot() :
import numpy as np
matrix1 = np.array([[1, 2], [3, 4]])
matrix2 = np.array([[5, 6], [7, 8]])
result = np.dot(matrix1, matrix2)
print(result)Аналогично методу dot() работает операция @ :
import numpy as np
matrix1 = np.array([[1, 2], [3, 4]])
matrix2 = np.array([[5, 6], [7, 8]])
result = matrix1 @ matrix2
print(result)Использование метода dot() или оператора @ даёт более быстрый, по сравнению с использованием вручную реализованных циклов, результат.
Не забывайте, что произведение является некоммутативной операцией, то есть порядок умножения матриц имеет значение и результат будет разным, если их переставить местами.
Транспонирование
Транспонирование — это операция, в результате которой строки исходной матрицы становятся столбцами новой матрицы, а столбцы — строками.
В Python можно выполнить транспонирование с помощью свойства T или метода transpose() из библиотеки NumPy .
Пример транспонирования с использованием свойства T :
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
result = matrix.T
print(result)И пример транспонирования с использованием метода transpose() :
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
result = np.transpose(matrix)
print(result)В обоих случаях результат одинаковый.
С помощью цикла транспонирование можно реализовать следующим образом:
matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
result = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
for i in range(len(matrix)):
for j in range(len(matrix[0])):
result[j][i] = matrix[i][j]
print(result)Этот метод может быть медленным и неэффективным для больших матриц, поэтому для более быстрого и эффективного решения рекомендуется использовать NumPy.
Нахождение обратной матрицы
Обратная матрица — это матрица, которая при умножении на исходную матрицу в результате дает единичную матрицу (с единицами на диагонали и нулями в остальных ячейках).
В Python можно найти обратную матрицу с помощью метода inv() из библиотеки NumPy.
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]])
result = np.linalg.inv(matrix)
print(result)Если матрица не имеет обратной матрицы, то метод inv() вызовет исключение LinAlgError: Singular matrix .
Чтобы проверить, имеет ли матрица обратную, используйте метод det() из библиотеки NumPy, который возвращает определитель матрицы. Если определитель равен нулю, то матрица вырожденная и она не имеет обратной матрицы:
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]])
determinant = np.linalg.det(matrix)
if determinant == 0:
print("The matrix does not have an inverse.")
else:
result = np.linalg.inv(matrix)
print(result)Нахождение обратной матрицы с помощью циклов может быть достаточно сложным и трудоемким процессом, особенно для больших матриц. Поэтому рекомендуем использовать NumPy.
Заключение
Матрицы являются важной концепцией в линейной алгебре и часто используются в различных областях, таких как искусственный интеллект, графика и оптимизация. В Python представлено множество инструментов для работы с матрицами, включая библиотеку NumPy. Понимание матриц и их операций может быть полезным для решения множества практических задач в различных областях.
Python Урок 8. Матрицы (двумерный массив)
Для работы с матрицами в Python также используются списки. Каждый элемент списка-матрицы содержит вложенный список.
Рассмотрим пример матрицы размера 4 х 3:
matrix = [[-1, 0, 1], [-1, 0, 1], [0, 1, -1], [1, 1, -1]]
matrix = [[-1, 0, 1], [-1, 0, 1], [0, 1, -1], [1, 1, -1]]
Данный оператор можно записать в одну строку:
matrix = [[-1, 0, 1], [-1, 0, 1], [0, 1, -1], [1, 1, -1]]
matrix = [[-1, 0, 1], [-1, 0, 1], [0, 1, -1], [1, 1, -1]]
def printMatrix ( matrix ): for i in range ( len(matrix) ): for j in range ( len(matrix[i]) ): print ( "".format(matrix[i][j]), end = "" ) print ()
def printMatrix ( matrix ): for i in range ( len(matrix) ): for j in range ( len(matrix[i]) ): print ( «».format(matrix[i][j]), end = «» ) print ()
В примере i – это номер строки, а j – номер столбца;
len(matrix) – число строк в матрице.
def printMatrix ( matrix ): for row in matrix: for x in row: print ( "".format(x), end = "" ) print ()
def printMatrix ( matrix ): for row in matrix: for x in row: print ( «».format(x), end = «» ) print ()
from random import randint n, m = 3, 3 a = [[randint(1, 10) for j in range(m)] for i in range(n)] print(a)
from random import randint n, m = 3, 3 a = [[randint(1, 10) for j in range(m)] for i in range(n)] print(a)
Обработка элементов двумерного массива
Нумерация элементов двумерного массива, как и элементов одномерного массива, начинается с нуля.
Т.е. matrix[2][3] — это элемент третьей строки четвертого столбца.
p = 1 for i in range(N): for j in range(M): p *= matrix[i][j] print (p)
p = 1 for i in range(N): for j in range(M): p *= matrix[i][j] print (p)
s = 0 for row in matrix: s += sum(row) print (s)
s = 0 for row in matrix: s += sum(row) print (s)
Для поиска суммы существует стандартная функция sum.
Задание Python 8_0:
Получены значения температуры воздуха за 4 дня с трех метеостанций, расположенных в разных регионах страны:
| Номер станции | 1-й день | 2-й день | 3-й день | 4-й день |
|---|---|---|---|---|
| 1 | -8 | -14 | -19 | -18 |
| 2 | 25 | 28 | 26 | 20 |
| 3 | 11 | 18 | 20 | 25 |
Т.е. запись показаний в двумерном массиве выглядела бы так:
- Распечатать температуру на 2-й метеостанции за 4-й день и на 3-й метеостанции за 1-й день.
- Распечатать показания термометров всех метеостанций за 2-й день.
- Определить среднюю температуру на 3-й метеостанции.
- Распечатать, в какие дни и на каких метеостанциях температура была в диапазоне 24-26 градусов тепла.
Задание Python 8_1:
Написать программу поиска минимального и максимального элементов матрицы и их индексов.
Задание Python 8_2:
Написать программу, выводящую на экран строку матрицы, сумма элементов которой максимальна.
for i in range(N): # работаем с matrix[i][i]
for i in range(N): # работаем с matrix[i][i]
for i in range(N): # работаем с matrix[i][N-1-i]
for i in range(N): # работаем с matrix[i][N-1-i]
for i in range(N): c = A[i][2] A[i][2] = A[i][4] A[i][4] = c
for i in range(N): c = A[i][2] A[i][2] = A[i][4] A[i][4] = c
for i in range(N): A[i][2], A[i][4] = A[i][4], A[i][2]
for i in range(N): A[i][2], A[i][4] = A[i][4], A[i][2]
Задание Python 8_3:
Составить программу, позволяющую с помощью датчика случайных чисел сформировать матрицу размерностью N. Определить: