Все пути графа python

Графы: разные виды представления графов. Алгоритмы Дейкстры и Флойда: реализация на Python. Минимальное остовное дерево

Метод обхода графа при котором в первую очередь переход делается из последней посещённой вершины (вершины хранятся в стеке). Обход в глубину получается естественным образом при рекурсивном обходе графа.

# Смежность вершин inc = < 1: [2, 8], 2: [1, 3, 8], 3: [2, 4, 8], 4: [3, 7, 9], 5: [6, 7], 6: [5], 7: [4, 5, 8], 8: [1, 2, 3, 7], 9: [4], >visited = set() # Посещена ли вершина? # Поиск в глубину - ПВГ (Depth First Search - DFS) def dfs(v): if v in visited: # Если вершина уже посещена, выходим return visited.add(v) # Посетили вершину v for i in inc[v]: # Все смежные с v вершины if not i in visited: dfs(i) start = 1 dfs(start) # start - начальная вершина обхода print(visited)

Поиск в ширину — ПВШ (Breadth First Search — BFS)

Метод обхода графа при котором в первую очередь переход делается из первой вершины, из которой мы ещё не ходили (вершины хранятся в очереди). Обход в глубину получается естественным образов при рекурсивном обходе графа.

Порядок обхода вершин при поиске в ширину

# Смежность вершин inc = < 1: [2, 8], 2: [1, 3, 8], 3: [2, 4, 8], 4: [3, 7, 9], 5: [6, 7], 6: [5], 7: [4, 5, 8], 8: [1, 2, 3, 7], 9: [4], >visited = set() # Посещена ли вершина? Q = [] # Очередь BFS = [] # Поиск в ширину - ПВШ (Breadth First Search - BFS) def bfs(v): if v in visited: # Если вершина уже посещена, выходим return visited.add(v) # Посетили вершину v BFS.append(v) # Запоминаем порядок обхода # print("v = %d" % v) for i in inc[v]: # Все смежные с v вершины if not i in visited: Q.append(i) while Q: bfs(Q.pop(0)) start = 1 bfs(start) # start - начальная вершина обхода print(BFS) # Выводится: [1, 2, 8, 3, 7, 4, 5, 9, 6]

Поиск кратчайших путей в графах (объединение разделов по Дейкстре и Флойду)

Алгоритм Дейкстры

Алгоритм Дейкстры (Dijkstra’s algorithm) — алгоритм на графах, находящий кратчайшее расстояние от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса (без рёбер с отрицательной «длиной»).

Примеры формулировки задачи

Вариант 1. Дана сеть автомобильных дорог, соединяющих города. Некоторые дороги односторонние. Найти кратчайшие пути от заданного города до каждого другого города (если двигаться можно только по дорогам).

Вариант 2. Имеется некоторое количество авиарейсов между городами мира, для каждого известна стоимость. Стоимость перелёта из A в B может быть не равна стоимости перелёта из B в A. Найти маршрут минимальной стоимости (возможно, с пересадками) от Копенгагена до Барнаула.

Идея алгоритма Дейкстры

Алгоритм состоит и 2 повторяющихся шагов:

• Добавление новой вершины («Расти» — GROW)
• «Релаксация», т.е. пересчёт расстояний до других вершин с учётом добавленной вершины (RELAX).

Обозначения:

Граф $G = (V,E)$, где $V$ — вершины, $E$ — рёбра.

$v_0$ — начальная вершина (от которой мы ищем кратчайшее растояние до всех остальных)

$R_i$ — известное нам расстояние от вершиеы $v_0$ до вершины $i$-ой.

$D$ — множество вершин до которых мы знаем кратчайшее расстояние от $v_0$.

Граф $G=(V,E)$, где $V$ — вершины, $E$ — рёбра.

$R_i$ — кратчайщее расстояние от $v_0$ до $i$-ой вершины

Инициализация алгоритма:

$R_ = 0$ — расстояние от $v_0$ до $v_0$ = 0.

$v = v_0$ — расти будем от вершины $v$.

Повторять (общий шаг алгоритма)

$GROW(V/D,v)$ — Добавляем вершину $v$ из множества $V/D$ в множество $D$.

$RELAX(V/D,v)$ — пробегаем достижимые из $v$ вершины до которых мы ещё не знаем кратчайшее расстояние и обновляем расстояния $R_i$ от вершины $v$.

$v$ — вершина с минимальным $R$ из множества $V/D$.

Каждой вершине $v$ из $V$ сопоставим значение $a[v]$ — минимальное известное расстояние от этой вершины до начальной $s$. Алгоритм работает пошагово — на каждом шаге он рассматривает одну вершину и пытается улучшить текущее расстояние до этой вершины. Работа алгоритма завершается, когда все вершины посещены, либо когда вычислены расстояния до всех вершин, достижимых из начальной.

Инициализация. Значение $a[s]$ самой начальной вершины полагается равным 0, значение остальных вершин — бесконечности (в программировании это реализуется присваиванием большого, к примеру, максимально возможного для данного типа, значения). Это отражает то, что расстояния от $s$ до других вершин пока неизвестны.

Шаг алгоритма. Если все вершины посещены, алгоритм завершается. В противном случае, из ещё не посещённых вершин выбирается вершина v, имеющая минимальное расстояние от начальной вершины $s$ и добавляется в список посещенных. Эта вершина находится, используя перебор всех непосещенных вершин. При этом суммируется расстояние от старта до одной из посещенных вершин u до непосещенной $v$. Для первого шага $s$ — единственная посещенная вершина с расстоянием от старта (то есть от себя самой), равным 0.

const MaxN = 1000; < Максимальное количество вершин >var a : array [1..MaxN] of extended; < Найденные кратчайшие расстояния >b : array [1..MaxN] of boolean; < Вычислено ли кратчайшее расстояние до вершины >p : array [1..MaxN,1..MaxN] of extended; < Матрица смежности >begin < До всех вершин расстояние - бесконечность >for i := 1 to n do a[i] := Inf; a[s] := 0.0; < И только до начальной вершины расстояние 0 >for i := 1 to n do b[i] := false; < Ни до одной вершины мы ещё не нашли кратчайшее расстояние >j := s; < Добавляемая вершина (стартовая) >repeat l := j; b[l] := True; < Добавили вершину > < Оббегаем все вершины смежные с только что добавленной >min := Inf; < Будем искать вершину с минимальным расстоянием от стартовой >for i := 1 to n do if not b[i] then begin < Если есть путь короче чем известный в i-ую вершину через l-тую, то запоминаем его >if a[i] < a[l] + p[l][i] then a[i] := a[l] + p[l][i]; < Если расстояние в эту вершину минимально, то запоминаем её как следующий кандидат на добавление >if a[i] < min then begin min := a[i]; j := i; end; end; until min = Inf; for i := 1 to n do if a[i] >= Inf then write('-1 ') < Вершины нельзя достичь из начальной >else write(a[i],' '); < Расстояние от начальной вершины = a[i] >end;

Алгоритм Флойда

Алгоритм Флойда — Уоршелла — динамический алгоритм для нахождения кратчайших расстояний между всеми вершинами взвешенного ориентированного графа. Разработан в 1962 году Робертом Флойдом и Стивеном Уоршеллом.

Пусть вершины графа пронумерованы от 1 до $n$ и введено обозначение $d_^k$ для длины кратчайшего пути от $i$ до $j$, который кроме самих вершин $i,\; j$ проходит только через вершины $1 \ldots k$. Очевидно, что $d_^$ — длина (вес) ребра $(i,\;j)$, если таковое существует (в противном случае его длина может быть обозначена как $\infty$)

Существует два варианта значения $d_^,\;k \in \mathbb (1,\;\ldots,\;n)$:

1. Кратчайший путь между $i,\;j$ не проходит через вершину $k$, тогда $d_^=d_^$
2. Существует более короткий путь между $i,\;j$, проходящий через $k$, тогда он сначала идёт от $i$ до $k$, а потом от $k$ до $j$. В этом случае, очевидно, $d_^=d_^ + d_^$

Таким образом, для нахождения значения функции достаточно выбрать минимум из двух обозначенных значений.

Алгоритм Флойда — Уоршелла последовательно вычисляет все значения $d_^$, $\forall i,\; j$ для $k$ от 1 до $n$. Полученные значения $d_^$ являются длинами кратчайших путей между вершинами $i,\; j$.

for k := 1 to n do < k - промежуточная вершина >for i := 1 to n do < из i-ой вершины >for j := 1 to n do < в j-ую вершину >W[i][j] = min(W[i][j], W[i][k] + W[k][j]);

Алгоритм Прима

Алгоритм Прима — алгоритм построения минимального остовного дерева взвешенного связного неориентированного графа. Алгоритм впервые был открыт в 1930 году чешским математиком Войцехом Ярником, позже переоткрыт Робертом Примом в 1957 году, и, независимо от них, Э. Дейкстрой в 1959 году.

Построение начинается с дерева, включающего в себя одну (произвольную) вершину. В течение работы алгоритма дерево разрастается, пока не охватит все вершины исходного графа. На каждом шаге алгоритма к текущему дереву присоединяется самое лёгкое из рёбер, соединяющих вершину из построенного дерева, и вершину не из дерева.

Вход: Связный неориентированный граф $G(V,E)$

Выход: Множество $T$ рёбер минимального остовного дерева

Обозначения:

• $d_i$ — расстояние от $i$-й вершины до построенной части дерева
• $p_i$ — предок $i$-й вершины, то есть такая вершина $u$, что $(i,u)$ самое короткое рёбро соединяющее $i$ с вершиной из построенного дерева.
• $w(i,j)$ — вес ребра $(i,j)$
• $Q$ — приоритетная очередь вершин графа, где ключ — $d_i$
• $T$ — множество ребер минимального остовного дерева

Для каждой вершины $i \in V$: $d_i \gets \infty$, $p_i \gets nil$

Для каждой вершины $u$ смежной с $v$:

Источник

работа с графами в Python

Будет использоваться ненаправленный связный граф V=6 E=6. Существует две популярные методики представления графов: матрица смежности (эффективна с плотными графами) и список связей (эффективно с разряженными графами). Будем использовать второй способ.

graph = 'A': ['B', 'C'], 'B': ['A', 'D', 'E'], 'C': ['A', 'F'], 'D': ['B'], 'E': ['B', 'F'], 'F': ['C', 'E']>

2 Depth-First Search — Поиск вглубину

Алгоритм поиска вглубину: исследуем сначала все возможные вершины (из выбранного корня) доступные из текущей, прежде чем возвращаться назад. Данный алгоритм можно реализовать как рекурсивно, так и итеративно. Последовательность действий:

• Помечаем текущую вершину как посещённую
• Исследуем каждую соседнюю вершину не включённую в список уже посещённых
• Вариант с DFS and BFS in Python (модифицированный, т.к. set не поддерживает упорядоченность элементов)

graph = 'A': ['B', 'C'], 'B': ['A', 'D', 'E'], 'C': ['A', 'F'], 'D': ['B'], 'E': ['B', 'F'], 'F': ['C', 'E']> def dfs(graph, start): visited, stack = [], [start] while stack: vertex = stack.pop() if vertex not in visited: visited.append(vertex) stack.extend(set(graph[vertex]) - set(visited)) return visited print(dfs(graph, 'A'))

• Вариант с DFS and BFS graph traversal (Python recipe) (модифицированный, т.к. для реализации стека нам необходимо добавлять элементы в конец списка, а не в начало)

graph = 'A': ['B', 'C'], 'B': ['A', 'D', 'E'], 'C': ['A', 'F'], 'D': ['B'], 'E': ['B', 'F'], 'F': ['C', 'E']> def iteractive_dfs(graph, start, path=None): """iterative depth first search from start""" if path is None: path = [] q = [start] while q: v = q.pop() if v not in path: path = path + [v] q += graph[v] return path print(iteractive_dfs(graph, 'A'))

3 DFS Paths — поиск пути между двумя вершинами

graph = 'A': ['B', 'C'], 'B': ['A', 'D', 'E'], 'C': ['A', 'F'], 'D': ['B'], 'E': ['B', 'F'], 'F': ['C', 'E']> def dfs_paths(graph, start, goal): stack = [(start, [start])] # (vertex, path) while stack: (vertex, path) = stack.pop() for next in set(graph[vertex]) - set(path): if next == goal: yield path + [next] else: stack.append((next, path + [next])) print(list(dfs_paths(graph, 'A', 'F')))

4 Bread-Firsth Search — Поиск вширину

Позволяет найти кратчайший путь между двумя вершинами. Довольно сложно реализовать рекурсивно, гораздо проще реализовать его с использованием очереди.

graph = 'A': ['B', 'C'], 'B': ['A', 'D', 'E'], 'C': ['A', 'F'], 'D': ['B'], 'E': ['B', 'F'], 'F': ['C', 'E']> from queue import deque def bfs(graph, start): visited, queue = [], deque([start]) while queue: vertex = queue.pop() if vertex not in visited: visited.append(vertex) queue.extendleft(set(graph[vertex]) - set(visited)) return visited print(bfs(graph, 'A'))

5 BFS Paths

from queue import deque graph = 'A': ['B', 'C'], 'B': ['A', 'D', 'E'], 'C': ['A', 'F'], 'D': ['B'], 'E': ['B', 'F'], 'F': ['C', 'E']> def bfs_paths(graph, start, goal): queue = deque([(start, [start])]) while queue: (vertex, path) = queue.pop() for next in set(graph[vertex]) - set(path): if next == goal: yield path + [next] else: queue.appendleft((next, path+[next])) print(list(bfs_paths(graph, 'A', 'F'))) def shortest_path(graph, start, goal): try: return next(bfs_paths(graph, start, goal)) except StopIteration: return None print(shortest_path(graph, 'A', 'F')) print(shortest_path(graph, 'E', 'D')) print(shortest_path(graph, 'A', 'D')) print(shortest_path(graph, 'F', 'D'))

[['A', 'C', 'F'], ['A', 'B', 'E', 'F']] ['A', 'C', 'F'] ['E', 'B', 'D'] ['A', 'B', 'D'] ['F', 'E', 'B', 'D']

Created: 2017-11-09 Thu 19:40

Источник