Теорию линейного программирования автор

Л.В. Канторович – создатель теории линейного программирования.

Леонид Канторович (1912-1985). Канторович родился в Санкт-Петербурге в семье врача, был вундеркиндом. С опережением на несколько лет он окончил математический факультет ЛГУ (в 18 лет) и уже через четыре года получил звание профессора. С 1938г. интересы Л.В.Канторовича были неразрывно связаны с экономическими исследованиями и решением народнохозяйственных проблем. Крупнейшим его открытием является введение в математическую и экономическую науки понятия «линейное программирование» (1939). . За разработку этого метода Канторович — единственный из советских экономистов — был удостоен Нобелевской премии по экономике в 1975 г. Линейное программирование является универсальной математической моделью оптимального функционирования экономических систем. Основная заслуга Л.В.Канторовича заключается в разработке единого подхода к широкому кругу экономических задач о наилучшем использовании ресурсов на базе линейного программирования. Им были введены «двойственные оценки» ресурсов (сам Л.В.Канторович называл их объективно обусловленными оценками), показывающие степень ценности этих ресурсов для общества. Двойственные оценки получили разнообразное истолкование в зависимости от рассматриваемого круга задач в работах самого Л.В.Канторовича, его последователей в СССР и западных ученых (независимо открывших линейное программирование в середине 1940-х годов).

Если в западной литературе наиболее популярны так называемые «теневые цены» на ресурсы, то любимым детищем Л.В.Канторовича стала основанная на двойственных оценках теория дифференциальной ренты. Рентные оценки позволяют измерять стоимость пользования природными ресурсами, в частности землей, водой, воздухом и т.п. Эта идея намного опередила свое время, предвосхитив современные исследования по экономико-экологическим проблемам. Сам Л.В.Канторович рассматривал созданную им теорию как имеющую важнейшее прикладное значение для плановой социалистической экономики научную базу для всей системы народнохозяйственных расчетов. В связи с этим с 1939г. он полностью переключается на экономические исследования и в 1942г. заканчивает свой основной труд «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов». За весьма краткий период времени Л.В.Канторовичу удалось построить разветвленную экономическую теорию на базе линейного программирования, а также разработать основы математической теории. Однако Канторович продолжил разработку, как частных задач, так и общих вопросов применения математического метода в экономике. Из частных задач, прежде всего, следует выделить транспортную задачу. Затем Канторович перешел к изучению оптимизационных проблем на уровне народного хозяйства. В сущности, ученый предложил новую систему изменения в экономике, основанную на учете ограниченности ресурсов, хотя в явном виде он не отрицал необходимости построения цены на основе стоимости. Его коэффициенты — это объективно значимая цена каждого из факторов производства применительно к условиям полностью конкурентного рынка.

Для продолжения скачивания необходимо пройти капчу:

Источник

Линейное программирование. Теория

Графический метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

1. Формулировка основных типов задач ЛП, построение их математических моделей
2. Каноническая форма задач линейного программирования
3. Симплексный метод решения задач линейного программирования
4. Поиск первоначального опорного плана
5. Виды записи симплекс-метода
6. Двухфазный симплекс-метод
7. Матричное описание симплекс-метода
8. M-задача
9. Симплекс-метод с естественным базисом
10. Дробно-линейное программирование
11. Построение математической модели для симплекс-задачи

Двойственность в задачах линейного программирования

1. Теоремы двойственности. Двойственность в задачах линейного программирования
2. Экономическая интерпретация двойственной задачи и теории двойственности (Анализ решения задачи линейного программирования с помощью теории двойственности)
3. Симметричные двойственные задачи
4. Несимметричные двойственные задачи

Целочисленное программирование

Задачу ЛП с двумя переменными можно решить графически, при этом ограничения будут представлять выпуклое множество допустимых решений (в случае его ограниченности – многогранник), а целевая функция F(x) – семейство параллельных прямых. Решение задачи всегда находится в угловой точке, либо в выпуклой линейной комбинации двух угловых точек.
Все алгоритмы решения ЗЛП опираются на каноническую форму задачи. Поэтому число искомых переменных канонической задачи будет больше, чем исходной.

Список рекомендуемой литературы

1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. Учебное пособие. – М.,Финансы и статистика, 2005
2. Беспалов М.С. Линейное программирование. Владимир: ВлГУ. 1999
3. Галкин А.А. Математическая экономика. Владимир: ВлГУ. 2006
4. Глухов В.В.Математические методы и модели для менеджмента: учебное пособие. – СПБ;М.;Краснодар:Лань,2005
5. Грицюк С.Н.Математические методы и модели в экономике: учебник.- Ростов н/Д:Феникс, 2007
6. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.,Изд-во «Дело и сервис», 2004.
7. Исследование операций в экономике. Учебное пособие для вузов/Под ред. проф.Н.Ш.Кремера. – М., ЮНИТИ, 2005.
8. Кузнецов Б.Т. Математические методы и модели исследования операций: учебное пособие. М.:ЮНИТИ – ДАНА, 2005
9. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. М.: Высшая школа. 1980.
10. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие. – М., Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2004.
11. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб.- М.:Дело, 2001
12. Орехов А.М. Методы экономических исследований: учебное пособие. – М:ИНФРА – М, 2006
13. Орлова А.М. Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач – М.: Вузовский учебник, 2007
14. Просветов Г.И.Математические методы в экономике: учебно-методическое пособие. М, Изд-во РДЛ, 2007
15. Справочник по математике для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. М.: Высшая школа. 1987.
16. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2005.
17. Шевченко В.Н., Золотых Н.Ю. Линейное и целочисленное линейное программирования. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 2004. — 154 с.
18. Экономико-математическое моделирование: учебник / ред.И.Н. Дрогобыцкий. М.:Экзамен, 2006
19. Экономико-математические методы и модели:учебное пособие / под ред. С.И.Макарова. – М.:КНОРУС, 2007

Источник

Л. В. Канторович: разработка теории линейного программирования

За разработку метода линейного программирования Леонид Вита­льевич Канторович (1912–1986) был (совместно с американским эко­номистом Т. Купмансом) удостоен Нобелевской премии в области экономики (1975 г.).

Заслуга Канторовича состоит в том, что он предложил математичес­кий метод поиска оптимального варианта распределения ресурсов. Решая конкретную задачу достижения наибольшей производительности при загрузке оборудования предприятия, производящего фанеру, уче­ный разработал метод, получивший название метода линейного про­граммирования. Тем самым был открыт новый раздел в математике, по­лучивший распространение в экономической практике, способствовав­ший развитию и использованию электронно-вычислительной техники.

Для решения задачи на оптимум Канторович использовал метод пос­ледовательных приближений, последовательного составления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи. Линейное программирование – это программное распределение ограниченных ре­сурсов наилучшим способом в соответствии с поставленными целями.

Как найти этот наилучший способ? Как получить оптимальный результат и убедиться, что он действительно оптимален?

Предлагается построить математическую модель в виде формул, графика, таблицы. Затем подставить в модель конкретные числовые показатели и произвести вычисления. Многие взаимосвязи и процес­сы довольно схожи, однотипны. Это позволяет построить типовые мо­дели, например модель транспортной задачи или распределительной задачи. При решении типовой задачи требуется найти такие значения нескольких вариантов, которые отвечают определенным условиям (ограничениям) и соответствующей цели.

Например, требуется с наименьшими затратами перевезти грузы от трех поставщиков к пяти потребителям. Задачу можно попытаться решить методом перебора многочисленных вариантов. Это потребует громоздких расчетов и немалого времени. Но мы не будем уверены, что избранный вариант оптимален.

Метод линейного программирования позволяет найти оптималь­ное решение. Линейным оно называется потому, что основывается на решении линейных уравнений. Неизвестные в них только первой сте­пени; ни одно неизвестное не перемножается на другое неизвестное. Такие уравнения отражают зависимости, которые могут быть изобра­жены на графике прямыми линиями.

На рис. 20 приведена транспортная задача: требуется определить план перевозок при минимальных затратах.

Рис.20. Транспортная задача 151

В данном случае имеются четыре потребителя (квадратики) и три поставщика (кружочки). Линии, соединяющие пункты, изображают маршруты поставок (транспортную сеть). Цифры внутри квадратиков показывают объемы спроса (со знаком минус), внутри кружочков – размеры предложения (со знаком плюс).

Несколько иной целевой критерий в задаче о диете (кормовом ра­ционе). Задача сводится к поиску оптимального рациона для кормле­ния скотины или птицы. При постоянном изменении рыночных цен на корма фермеры подбирают оптимальный рацион при минимуме затрат, производя соответствующие расчеты на компьютере.

Для любой задачи линейного программирования существует со­пряженная ей, двойственная задача. Если прямая задача заключается в минимизации целевой функции, то двойственная – в максими­зации.

При непосредственном участии Канторовича и его ближайших коллег – В. В. Новожилова (автора идеи продуктово-трудового ба­ланса) и В. С. Немчинова (обосновавшего глобальный критерий функционирования экономики) – формировалась отечественная эко­номико-математическая школа.

Усилиями экономистов-математиков была разработана система оптимального функционирования экономики (СОФЭ); строились модели эффективного распределения и оценки ресурсов.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Источник