Областью допустимых решений задачи линейного программирования может быть

Глава 1. Постановка основной задачи линейного программирования

Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием. Такие задачи находят обширные приложения в различных сферах человеческой деятельности. Систематическое изучение задач такого типа началось в 1939 – 1940 гг. в работах Л.В. Канторовича. К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов. Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк.Это, например:

• задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;
• задача о смесях (планирование состава продукции);
• задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или);
• транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Линейное программирование – наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим:

• математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;
• данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;
• многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;
• некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных. В общем виде модель записывается следующим образом: целевая функция (1.1) при ограничениях (1.2) требования неотрицательности (1.3) где x_j – переменные (неизвестные); — коэффициенты задачи линейного программирования. _{Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1.1) при соблюдении ограничений (1.2) и (1.3).Систему ограничений (1.2) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (1.3) — прямыми.Вектор, удовлетворяющий ограничениям (1.2) и (1.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План, при котором функция (1.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным.}

1.2. Симплекс метод решения задач линейного программирования

_{Симплекс-метод был разработан и впервые применен для решения задач в 1947 г. американским математиком Дж. Данцигом.Двумерные задачи линейного программирования решаются графически. Для случая N=3 можно рассмотреть трехмерное пространство и целевая функция будет достигать своё оптимальное значение в одной из вершин многогранника.Допустимым решением (допустимым планом) задачи ЛП, данной в стандартной форме, называется упорядоченное множество чисел (х1, х2, …, хn), удовлетворяющих ограничениям; это точка в n-мерном пространстве.Множество допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР) задачи ЛП. ОДР представляет собой выпуклый многогранник (многоугольник).В общем виде, когда в задаче участвуют N-неизвестных, можно сказать, что область допустимых решений, задаваемая системой ограничивающих условий, представляется выпуклым многогранником в n-мерном пространстве и оптимальное значение целевой функции достигается в одной или нескольких вершинах.Базисным называется решение, при котором все свободные переменные равны нулю.Опорное решение — это базисное неотрицательное решение. Опорное решение может быть невырожденным и вырожденным. Опорное решение называется невырожденным, если число его ненулевых координат равно рангу системы, в противном случае оно является вырожденным.Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным и обозначается.Решить данные задачи графически, когда количество переменных более 3 весьма затруднительно. Существует универсальный способ решения задач линейного программирования, называемый симплекс-методом.Симплекс-метод — это универсальный метод решения задач ЛП, представляющий собой итерационный процесс, который начинается с одного решения и в поисках лучшего варианта движется по угловым точкам области допустимых решений до тех пор, пока не достигнет оптимального значения.С его помощью можно решить любую задачу линейного программирования.В основу симплексного метода положена идея последовательного улучшения получаемого решения.Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ограничений к соседней, в которой целевая функция принимает лучшее (или, по крайней мере, не худшее) значение до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение — вершина, где достигается оптимальное значение функции цели (если задача имеет конечный оптимум).Таким образом, имея систему ограничений, приведенную к канонической форме (все функциональные ограничения имеют вид равенств), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще. Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению. Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении целевая функция, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему (или, по крайней мере, не удалится от него). С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не отыщется решение, которое является оптимальным.Процесс применения симплексного метода предполагает реализацию трех его основных элементов:}

1. _{способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи;}
2. _{правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению;}
3. _{критерий проверки оптимальности найденного решения.}

_{Симплексный метод включает в себя ряд этапов и может быть сформулирован в виде четкого алгоритма (четкого предписания о выполнении последовательных операций). Это позволяет успешно программировать и реализовывать его на ЭВМ. Задачи с небольшим числом переменных и ограничений могут быть решены симплексным методом вручную.}

Источник

Общая задача линейного программирования.

3) цель задачи ()

(max F(x))

(min F(x))

Определение: Планом или допустимым решением задачи линейного программирования называется вектор , удовлетворяющий условиям 1) и 2)

(*)

Определение: План называетсяопорным, если векторы , входящие в разложение (*) с положительными коэффициентами, являются линейно независимыми.

Определение: Опорный план называется невырожденным, если он содержит m – положительных компонентов, в противном случае опорный план называется вырожденным.

Определение: Оптимальным планом (решением) задачи линейного программирования называется план, доставляющий линейной форме наибольшее или наименьшее значение.

В большинстве задач ограничения задаются не в виде системы уравнений, а в виде системы линейных неравенств, либо система ограничений смешанная, однако любую систему ограничений можно привести к системе уравнений. Для этого достаточно к левой части каждого неравенства прибавить (для ) или отнять (для) какое-то неотрицательное число (добавочную переменную) с тем, чтобы каждое неравенство обратилось в уравнение, в результате получим эквивалентные системы уравнений и неравенств.

Основные теоремы линейного программирования

Теорема 1: Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования, является выпуклым.

Теорема 2: Если существует, и при том единственное, оптимальное решение задачи линейного программирования, то оно совпадает с одной из угловых точек множества допустимых решений. Если линейная форма принимает минимальное (максимальное) значение более чем в одной угловой точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

Из теоремы 2 следует, что поиски оптимального решения можно ограничить перебором конечного числа угловых точек (их число меньше , гдеn — число неизвестных , а m – число ограничений), однако построение возможно только для двух и трёхмерных пространств, поэтому нужны аналитические методы, позволяющие находить координаты угловых точек.

Теорема 3: Если известно, что система векторов в разложении линейно независима и такова, что, где, то точкаявляется угловой точкой многогранника решений.

Теорема 4: Если — угловая точка многогранника решений, то векторыв разложении, соответствующие положительным, являются линейно независимыми.

Следствие 1: Так как векторы имеют размерностьm, то угловая точка многогранника решений имеет не более m положительных компонент .

Следствие 2: Каждой угловой точке многогранника решений соответствует линейно независимых векторов системы векторов.

Симплексный метод решения задачи линейного программирования.

Доказано, что оптимальное решение задачи линейного программирования связано с угловыми точками многоугольника решений, то есть с опорными планами. Они определяются системой m — линейно независимых векторов, содержащихся в системе из n — векторов. Количество опорных планов меньше, гдеn — число неизвестных, а m – число ограничений. При больших n и m найти все их перебором очень трудно, поэтому необходимо упорядоченный перебор, такой схемой является симплексный метод, который позволяет исходя из известного опорного плана задачи, за конечное число шагов получить её оптимальный план. Каждый из шагов (итераций) состоит в нахождении нового плана, которому соответствует меньшее для задачи на минимум (большее для задачи на максимум) значение линейной формы, чем её значение в предыдущем плане. Процесс продолжается до получения оптимального плана. Если задача не обладает планами или её линейная форма неограниченна на многограннике решений, то симплексный метод позволяет установить это в процессе решения.

Источник