График плотности вероятности python

Python для анализа данных¶

Нам пригодится только модуль scipy.stats . Полное описание доступно по ссылке. По ссылке можно прочитать полную документацию по работе с непрерывными (Continuous), дискретными (Discrete) и многомерными (Multivariate) распределениями. Пакет также предоставляет некоторое количество статистических методов, которые рассматриваются в курсах статистики.

import scipy.stats as sps import numpy as np import ipywidgets as widgets import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline

1. Работа с библиотекой scipy.stats .¶

• X(params).rvs(size=N) — генерация выборки размера $N$ (Random VariateS). Возвращает numpy.array ;
• X(params).cdf(x) — значение функции распределения в точке $x$ (Cumulative Distribution Function);
• X(params).logcdf(x) — значение логарифма функции распределения в точке $x$;
• X(params).ppf(q) — $q$-квантиль (Percent Point Function);
• X(params).mean() — математическое ожидание;
• X(params).median() — медиана ($1/2$-квантиль);
• X(params).var() — дисперсия (Variance);
• X(params).std() — стандартное отклонение = корень из дисперсии (Standard Deviation).

Кроме того для непрерывных распределений определены функции

• X(params).pdf(x) — значение плотности в точке $x$ (Probability Density Function);
• X(params).logpdf(x) — значение логарифма плотности в точке $x$.

• X(params).pmf(k) — значение дискретной плотности в точке $k$ (Probability Mass Function);
• X(params).logpdf(k) — значение логарифма дискретной плотности в точке $k$.

Все перечисленные выше методы применимы как к конкретному распределению X(params) , так и к самому классу X . Во втором случае параметры передаются в сам метод. Например, вызов X.rvs(size=N, params) эквивалентен X(params).rvs(size=N) . При работе с распределениями и случайными величинами рекомендуем использовать первый способ, посколько он больше согласуется с математическим синтаксисом теории вероятностей.

Параметры могут быть следующими:

• loc — параметр сдвига;
• scale — параметр масштаба;
• и другие параметры (например, $n$ и $p$ для биномиального).

Для примера сгенерируем выборку размера $N = 200$ из распределения $\mathcal(1, 9)$ и посчитаем некоторые статистики. В терминах выше описанных функций у нас $X$ = sps.norm , а params = ( loc=1, scale=3 ).

Примечание. Выборка — набор независимых одинаково распределенных случайных величин. Часто в разговорной речи выборку отождествляют с ее реализацией — значения случайных величин из выборки при «выпавшем» элементарном исходе.

sample = sps.norm(loc=1, scale=3).rvs(size=200) print('Первые 10 значений выборки:\n', sample[:10]) print('Выборочное среденее: %.3f' % sample.mean()) print('Выборочная дисперсия: %.3f' % sample.var()) 

Первые 10 значений выборки: [ 0.65179639 -0.66437884 0.61450407 -0.1828078 0.42271419 0.14424901 2.01547486 7.81094724 -1.35246891 -1.35574313] Выборочное среденее: 0.854 Выборочная дисперсия: 9.118

Источник

Модуль random. Часть 3

Рассмотрим равномерное и нормальное распределения непрерывной случайной величины.

• Непрерывное вероятностное распределение
  • Непрерывное равноемерное распределение
    • Плотность вероятности
    • Матожидание и дисперсия
    • Реализация на Питоне
    • Разница между np.random.random(), np.random.rand() и np.random.uniform()
    • Функция плотности нормального распределения
    • Функция np.random.normal()
    • Расчет вероятности
    • Функция плотности и функция распределения
    • Вероятность конкретного значения
    • Формирование выборки
    • Центральная предельная теорема
      • Определения и нотация
      • ЦПТ и нормальное распределение
      • Проверим на Питоне
      • Способ 1. График нормальной вероятности
      • Способ 2. Тест Шапиро-Уилка
      • Поправка на непрерывность распределения
      • Пример приближения

      Непрерывное вероятностное распределение

      Как уже было сказано, в отличие от дискретной величины, непрерывная величина может принимать любое значение в заданном интервале.

      Непрерывное равноемерное распределение

      Непрерывное равномерное распределение (continuous uniform distribution) описывает случайную величину, вероятность значений которой одинакова на заданном интервале от a до b.

      Например, если мы знаем, что автобус приходит на остановку каждые 12 минут, то время ожидания автобуса на остановке равномерно распределено между 0 и 12 минутами.

      Плотность вероятности

      Непрерывное распределение (в отличие от дискретного) задается плотностью вероятности (probability density function, pdf). Для равномерного непрерывного распределения плотность вероятности задается вот такой несложной функцией.

      $$ pdf(x) = \begin \frac, x \in [a, b] \ 0, x \notin [a, b] \end $$

      В примере с ожиданием автобуса вероятность его приезда в любой момент в пределах заданного интервала равна

      $$ pdf(x) = \begin \frac = \frac, x \in [0, 12] \ 0, x \notin [0, 12] \end $$

      На графике равномерное распределение представляет собой прямоугольник, площадь которого всегда равна единице.

      

      Если мы хотим посчитать вероятность приезда автобуса в пределах заданного интервала ожидания, нам, по сути, нужно рассчитать отдельный участок площади прямоугольника.

      Например, вероятность приезда автобуса при ожидании до 12 минут включительно составляет 1.00 или 100%, потому что такой промежуток включает всю площадь прямоугольника.

      Теперь давайте рассчитаем вероятность ожидания автобуса до 7 минут включительно. Нас будет интересовать интервал от 0 до 7 минут и соответствующий участок площади прямоугольника.

      

      Применив несложную формулу, мы без труда вычислим площадь этого участка.

      $$ P(7) = \frac \times 7 \approx 0,583 $$

      Матожидание и дисперсия

      Остается рассчитать матожидание (среднее время ожидания автобуса) и дисперсию.

      Реализация на Питоне

      Воспользуемся функцией np.random.uniform() для того, чтобы создать равномерное распределение с параметрами U(0, 12).

      Источник