Экономические задачи линейного программирования и их решение с испол
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» Н.М. Левда, В.П. Постников ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИХ РЕШЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MICROSOFT EXCEL Допущено Учебно-методическим объединением по образованию в области статистики и математических методов в экономике в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Экономика» и другим экономическим направлениям Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов РФ в области экономики, менеджмента, логистики и бизнес-информатики в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 080100.62 «Экономика», 080200.62 «Менеджмент» Издательство Пермского национального исследовательского политехнического университета 2015
УДК 330.45+519.852 ББК 22.161.8 Л34 Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, профессор П.М. Симонов, д-р экон. наук, профессор Т.Г. Шешукова (Пермский государственный национальный исследовательский университет) д-р экон. наук, доцент И.В. Елохова (Пермский национальный исследовательский политехнический университет) Левда, Н.М. Л34 Экономические задачи линейного программирования и их решение с использованием Microsoft Excel : учеб. пособие / Н.М. Левда, В.П. Постников. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2015. – 170 с. ISBN 978-5-398-01375-7 Приведены общие положения и основные понятия линейного программирования. Рассмотрены вопросы построения экономико-математических моделей задач линейного программирования, продемонстрировано использование известных методов решения подобных задач, включая графический способ и симплекс-метод. Рассмотрено решение типовых экономических задач: определение оптимального ассортимента, использование взаимозаменяемых ресурсов, раскрой материала, развитие и размещение производства, а также задача о назначении, транспортные задачи и др. Основной используемый сервис – надстройка Microsoft Excel «Поиск решения». Рассмотрено применение компьютера для решения экономических задач линейного программирования. Предназначено для студентов экономических и управленческих специальностей, аспирантов и преподавателей, для всех, кто занимается научными исследованиями в экономике с использованием методов линейного программирования. УДК 330.45+519.852 ББК 22.161.8
| ISBN 978-5-398-01375-7 | © ПНИПУ, 2015 |
| ОГЛАВЛЕНИЕ | |
| Введение. | 5 |
| Глава 1. Теоретические аспекты линейного | |
| программирования. | 7 |
| 1.1. Понятия модели и моделирования . | 7 |
| 1.2. Постановка задачи линейного программирования . | 11 |
| 1.3. Графический метод решения задач линейного | |
| программирования. Геометрическая интерпретация . | 16 |
| 1.4. Симплекс-метод . | 22 |
| 1.5. Двойственная задача линейного | |
| программирования. | 32 |
| 1.6. Транспортная задача линейного | |
| программирования. | 43 |
| Глава 2. Использование надстройки Microsoft Excel | |
| «Поиск решения» для решения задач линейного | |
| программирования. | 70 |
| 2.1. Описание надстройки «Поиск решения» . | 70 |
| 2.2. Организация рабочего листа для решения задач | |
| линейного программирования . | 72 |
| 2.3. Алгоритм постановки и решения задачи в надстройке | |
| «Поиск решения» . | 73 |
| 2.4. Параметры надстройки «Поиск решения» . | 78 |
| 2.5. Анализ отчетов . | 80 |
| 2.6. Пример решения задачи линейного программирования | |
| с помощью надстройки «Поиск решения» . | 83 |
| 2.7. Пример оформления отчета о решении задачи . | 94 |
| Глава 3. Применение надстройки «Поиск решения» | |
| для решения типовых экономических задач линейного | |
| программирования. | 98 |
| 3.1. Определение оптимального ассортимента . | 98 |
| 3.2. Оптимальное использование взаимозаменяемых | |
| ресурсов . | 113 |
| 3.3. Транспортная задача . | 119 |
| 3.4. Задача о назначении . | 127 |
| 3.5. Оптимальный раскрой материала . | 135 |
| 3.6. Задача оптимального развития и размещения | |
| производства . | 145 |
| 3.7. Оптимальные смеси . | 153 |
| 3.8. Планирование финансов . | 160 |
| Список литературы. | 168 |
ВВЕДЕНИЕ Данная работа призвана подготовить будущих экономистовменеджеров к принятию обоснованных, эффективных решений при планировании и управлении экономическими процессами. Пособие освещает основные понятия и общие теоретические аспекты линейного программирования, иллюстрирует пути решения широкого ряда экономических задач линейного программирования с применением современных средств вычислительной техники. Для того чтобы научиться самостоятельно решать эти задачи, необходимо: – изучить теоретические основы задач линейного программирования; – уметь составлять математические модели экономических задач и решать эти задачи на ЭВМ, используя современное программное обеспечение (Microsoft Excel). Первым, кто сформулировал задачу оптимального (т.е. наилучшего из всех возможных вариантов при определенных ограничениях) использования ограниченных производственных ресурсов и предложил соответствующий математический метод ее решения, был советский экономист-математик Л.В. Канторович. Позднее американский математик Дж. Данциг разработал соответствующий математический аппарат, который назвал «линейное программирование», и предложил для машинного решения задачи эффективный симплекс-метод. На практике для решения задачи линейного программирования с использованием Microsoft Excel необходимо: – составить математическую модель задачи, – организовать рабочий лист в Microsoft Excel, – применить надстройки Microsoft Excel Поиск решения , – проанализировать полученные результаты. Все эти этапы рассмотрены в данном учебном пособии: освещены теоретические аспекты линейного программирования, даны методические указания по использованию надстройки Microsoft
Excel Поиск решения , приведены примеры решения типовых экономических задач линейного программирования в Microsoft Excel, а также представлен образец оформления отчета. Пособие состоит из трех глав. В первой главе изложены основные понятия моделирования, приведена историческая справка об экономико-математическом моделировании, рассмотрена постановка и методы решения задач линейного программирования, построение двойственной задачи линейного программирования. Во второй главе подробно рассмотрена надстройка Поиск решения и ее параметры, алгоритм постановки и решения задач. Также глава содержит пример решения задачи линейного программирования и оформления отчета. Особое внимание нами уделено конкретным примерам решения экономических задач линейного программирования. В третьей главе подробно рассмотрена технология решения задач оптимального использования ресурсов и специальных задач линейного программирования (транспортная задача, задача о назначении, целочисленная задача линейного программирования и др.). Таким образом, пособие включает в себя теоретическую часть, практические рекомендации по использованию надстройки Microsoft Excel Поиск решения , а также рекомендации по решению типовых экономических задач линейного программирования.
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 1.1. Понятия модели и моделирования Модель – упрощенная копия, искусственно создаваемый объект, в котором воспроизводятся определенные характеристики реального объекта с целью его изучения. Точность результата зависит от соответствия математической модели действительности. Моделирование – это метод научного исследования окружающего нас мира, заключающийся в подмене реальных объектов или явлений их заведомо упрощенными образами (моделями) с целью изучения этих образов и последующего переноса полученных результатов и выводов на объекты и явления реального мира. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать модели реальных объектов (процессов). В этом и состоит основное достоинство моделирования. Связь между объектом реального мира и его моделью может проиллюстрировать обобщенный цикл моделирования (рис. 1.1). Рис. 1.1
Экономико-математическая модель – это абстрактная модель, состоящая из функций, уравнений и неравенств, схем и графиков. Точность результата математической модели зависит от ее адекватности (соответствия) действительности. Экономико-математическое моделирование заключается в использовании методов и средств математического моделирования для исследования экономических объектов и явлений. Цель эконо- мико-математического моделирования – повышение эффективности управления экономикой на разных уровнях управления (предприятия, региона, страны). Для развития экономико-математического моделирования необходимы следующие условия: 1) зрелая экономическая наука (анализ и налаженный учет информации); 2) развитие математических методов (линейное программирование, динамическое программирование, теория массового обслуживания, математическая статистика, теория игр); 3) наличие вычислительной техники. Именно наличие этих трех факторов и привело к прорыву в области экономико-математического моделирования начиная со второй половины XX в. В настоящее время наблюдается внедрение в отечественную практику экономико-математических методов и моделей с использованием программных комплексов. Растет роль экономикоматематического моделирования как одного из средств совершенствования экономики путем научного обоснования вариантов последующего развития и создания прогнозов в рыночных условиях. Экономико-математическое моделирование можно разделить на следующие четыре этапа: I этап – выбор объекта исследования и составление экономической модели: определяется цель исследования, выполняется постановка задачи, проводится качественное описание объекта или процесса в виде экономической модели.
II этап – построение экономико-математической модели: на основе экономической модели формируется математическая модель изучаемого объекта или процесса (объект представляют в виде системы уравнений, неравенств и функции) – это основной этап моделирования. III этап – применение математического аппарата для решения задачи, сформулированной на базе построенной математической модели (применение математических методов для расчета модели). IV этап – анализ полученных результатов решения; проверка полученных результатов на их адекватность изучаемому объекту и оценка их устойчивости; возможная корректировка первоначальной математической модели. Для корректировки модели меняют условие или критерии модели, после чего снова приступают к моделированию объекта исследования (рис. 1.2). Рис. 1.2 Линейные модели являются одним из наиболее простых и часто используемых в экономике классов математических моделей. Они изучаются в рамках линейного программирования – одного из самых проработанных разделов исследования операций. Инструменты, с помощью которых находятся оптимальные решения экономико-математических моделей, называются экономикоматематическими методами. Математический метод позволяет, не перебирая все варианты, найти оптимальный вариант. К экономи- ко-математическим методам относятся методы линейной алгебры, математического (линейного и нелинейного) программирования, тео-
рии вероятностей и математической статистики, методы экономическойкибернетики, методытеорииигрипринятиярешенийидр. Линейное программирование – раздел математического программирования, позволяющий решать задачи оптимального распределения имеющихся ограниченных ресурсов (денег, материалов, времени и т.п.) для достижения определенной экстремальной цели (максимума прибыли или минимума издержек). При этом система ограничений и целевая функция линейны. Оптимальные модели всегда связаны с выбором, и оптимальность выбора всегда относительна. Одно и то же решение может быть оптимальным в одних условиях и неоптимальным в других. В экономике часто стоит вопрос выбора одного варианта из множества других. Обычно выбирают наиболее эффективный вариант, для этого сравнивают результаты и затраты. Если рассматривать этот выбор в условиях сферы планирования, то говорится об оптимальном плане. Оптимальный план бывает двух видов: 1. План, обеспечивающий заданный результат при минимальных затратах ресурсов. 2. План, обеспечивающий максимальный результат при заданном объеме ресурсов. Оптимальный план находится с помощью математических методов, расчет по выбранному методу перекладывается на ЭВМ. Многие задачи оптимального планирования в экономике могут быть решены методами линейного программирования. Однако в рамках линейного программирования может быть решена только часть задач оптимального планирования. Эти задачи должны удовлетворять следующим условиям: 1. В задаче оптимального планирования должен использоваться единый критерий оптимальности (показатель эффективности). Выбор показателя зависит от цели исследования, условий деятельности предприятия. На практике строят несколько моделей с разными критериями оптимальности.